Optická trubice upravenoeng.gif, 1,3kB upravenocz.png
1. Poděkování
Za tým Gymnázia Cheb bych chtěl poděkovat škole, vedoucím našeho družstva (Mgr. Jan Dirlbek, doc. RNDr. Zdeněk Kluiber, CSc., Ph.D., RNDr. Ing. Jaroslav Kočvara) a všem, kteří nám poskytli svou spolupráci při řešení fyzikálních problémů (Prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr., pan Hynek Urban, a mnozí další)
2. Úvod
Družstvo Gymnázia Cheb se v roce 2009 zúčastnilo 22. ročníku Turnaje mladých fyziků (TMF). Tento ročník probíhal v čínském městě Tianjin, kde soutěžilo 26 zemí z celého světa. Naše družstvo coby zástupce České republiky obsadilo 17. příčku. Soutěž spočívala v prezentaci 17 problémů. Všechny byly zadány velmi obecně, a proto bylo složité najít správné řešení. Tato zpráva se snaží objasnit jeden z problémů - Optickou trubici.
3. Zadání
Podívejte se do válcovité železné trubky, jejíž vnitřní povrch je lesklý. Budete pozorovat světlá a tmavá místa. Vysvětlete tento jev.
3.1 Poznámka k zadání
Zadání je vždy pouze v angličtině, a proto je velmi složité ho jakkoli precizně přeložit.
4. Podmínky
Daný problém jsme řešili za normálních podmínek.
5. Pomůcky
6. Teorie
Z různých pokusů jsme vypozorovali následující: Jestliže se podíváme lesklou trubkou o délce L a poloměru R, která je rovnoměrně osvícená. Pozorujeme kruhy, které se zahušťují směrem k oku a jejichž intenzita světla také směrem k oku ubývá. Tento jev může být vysvětlen na základě několikanásobného odrazu na vnitřních stranách trubky. S každým odrazem se nějaké světlo absorbuje. Tuto situaci je zobrazena na obr. č. 1.
Nový obrázek.png, 9,8kB
Obr. č. 1 Násobné odrážení světla v trubce. Šedá plocha obsahuje všechny paprsky, které jsou odraženy dvakrát před tím, než vstoupí do oka.

Pozorovatel vidí nasvícený povrch pod úhlem α0, pro který platí, že vzorec . Paprsky, které vstoupí do oka pod větším úhlem, se nejméně jednou odrazí na povrchu trubky. Jak může být vidět na obr. č. 1, největší úhel α1 , pod kterým jednou odražené paprsky vstoupí od oka, koresponduje odrazu ve vzdálenosti L/3 měřené od oka. Toto si můžeme ověřit, pokud se podíváme na tři stejné trojúhelníky, které jsou dány paprsky, osou trubky a přímkami kolmými na osu a procházejícími body odrazu. Proto je úhel α1 dán vzorec .

Stejným způsobem zjistíme, že paprsky, které dosáhnou oka po dvou odrazech, se k oku přibližují pod úhlem mezi α1 a α2(ten je dánvzorec) . Zobecněním tohoto vztahu k libovolnému počtu odrazů n získáme vzorec vzorec .

Jestliže promítneme paprsky na zobrazovací plochu ve vzdálenost D od konce trubky (např. použitím dírkové komory), uvidíme soustředné kruhy s poloměry vzorec (žádný odraz), vzorec(jeden odraz), atd. Toto schéma je znázorněné na obr. č. 2 a snímek pořízený z digitální kamery je na obr. č. 4. Když chceme vidět ostrá rozhraní mezi kruhy, musíme zaostřit na opačný konec trubky. Důvodem tohoto opatření je fakt, že každé rozhraní kruhů je obraz opačného konce trubky. Zaostření na konec trubky má však za následek, že pozadí fotografie (domy, stromy,…) vidíme v trubce rozostřeně. Jiný efekt může být pozorován, jestliže zaostříme na zmíněné předměty v pozadí. Jak může být vidět na obr. č. 4, vytvoří se světlá a tmavá místa.

Nový obrázek (1).png, 9,5kB
Obr. č. 2: Promítnutí paprsků po odrazech uvnitř trubky.
Nový obrázek (2).png, 41kB
Obr. č. 3: Fotografie kruhů ve trubce. Kamera je zaostřena na konec trubky, zamířena k jasnému nebi.
Všimněte si, že ne obrázku jsou rozhraní mezi jednotlivými kruhy rozmazaná, kdežto objekty v pozadí ostré. Světlá a tmavá místa jsou rozmazané obrazy předmětů odražených na povrchu uvnitř trubky.
Nový obrázek (3).png, 52kB
Obr. č. 4: Fotografie kruhů ve trubce. Kamera je zaostřena na vzdálené objekty.
Abychom rozuměli jevu, proč se zobrazené předměty rozmazávají, musíme nejdříve pochopit zobrazení jednoho bodu. Pro zjednodušení, začneme bodem A nacházejícím se v rovině kolmé na osu trubice na opačném konci trubice. Nechť je vzdálenost bodu A od osy ró (obr. č. 5). Trubici si můžeme představit jako nekonečně mnoho rovinných zrcadel rovnoběžných s osou trubice. V každém z těchto zrcadel je bod A zobrazen. Zvolme si jedno z těchto zrcadel, např. to, jehož kolmice k bodu A svírá se středem kruhu úhel fí. Kolmá vzdálenost d od bodu A k zrcadlu je dána následovně: vzorec . S použitím kosínové věty, je vzdálenost r bodu A´ (obraz bodu A) ke středu kruhu dána rovnicí vzorec a úhel vůči A´ je dán vzorec .
Nový obrázek (4).png, 9,0kB
Obr. č. 5: Zobrazení bodu A odrazem vzniklým na povrchu trubky.

Protože je takovýto obraz vytvořen každým z nekonečně mnoho rovinných zrcadel, dostaneme spojitý obraz, které dohromady vytvoří křivku. Parametrická rovnice této křivky v polárních souřadnicích r a theta je dána rovnicemi (1) – (3) s parametrem fí měnícím se od 0 do 2pí . Spočítali jsme tyto křivky numericky a ukázali diagramy tří z nich na obr. č. 6.

Tyto výsledky jsme zkontrolovali experimentálně – zakryli jsme opačný konec trubice neprůsvitným papírem a do něj jsme udělali tři dírky špendlíkem. Dvě z těchto tří dírek byly zakryty průhledným barevným papírem. Udělali jsme obrázky trubice fotoaparátem zamířeným na zdroj světla. Na obr. č. 7 můžeme vidět fotografii odrazů: tři křivky nejbližší ke středu korespondují jednomu odrazu a jsou velmi podobné těm spočítaným číselně (ukázány na obr. č. 6) Ostatní křivky korespondují více s odrazy na vnitřním povrchu trubice.

Nový obrázek (5).png, 13kB
Obr. č. 6: Obrazy tří bodů vytvořené jedním odrazem vzniklým na vnitřku trubice, pro vzorec
Nový obrázek (6).png, 41kB
Obr. č. 7: Fotografie odrazu tří dírek na konci trubice.

Pokud se snažíme pozorovat různé objekty odražené vnitřním povrchem, pak v trubici vidíme pásy, což je způsobeno tím, že každý bod je v trubici zobrazen jako křivka.

Dosud jsme uvažovali, že každý paprsek vycházející z trubice bude zaznamenán vstupní čočkou fotoaparátu. To znamená, že clona fotoaparátu je větší než průměr trubice. Nicméně můžeme použít i fotoaparát s menším. To by eliminovalo některé paprsky vycházejících ze zdroje. Výsledkem bude, že body, jejichž vzdálenost ró od středu je větší než poloměr clony a budou zobrazeny ne jako uzavřené křivky, ale jako segmenty těchto křivek. Toto můžeme vidět na obr. č. 8: paprsky vycházející k vytvoření obrazu vstoupí do clony, kdežto paprsky vycházející k vytvoření obrazu nevstoupí. Výsledné obrazy tří bodů jsou vidět na obr. č. 9. Body zdroje byly umístěny stejným způsobem jako na obr. č. 6., ale byly sesbírány clonou s poloměrem vzorec .

V limitě blížící se k nekonečně malé cloně, každý bod mimo hlavní osu, má po jednom odrazu dva obrazy. Když budeme pozorovat některé předměty tímto způsobem, uvidíme jejich ostré obrazy. Tento jev můžeme snadno pozorovat, pokud bychom do trubice koukali malou dírkou.

Nový obrázek (7).png, 9,5kB
Obr. č. 8: Obrazy tří bodů vygenerovaných jedním odrazem na vnitřním povrchu trubice pro ró1 (zelená), ró2 (červená), a ró3 (modrá), a poloměr clony vzorec .
7. Závěr
8. Zdroje
Toto vypracování úlohy Optická trubice čerpá ze zprávy pana profesora Opatrného určené pro Gymnázium Cheb. Pan profesor Opatrný je rovněž autorem všech použitých obrazových materiálů.
---------------------------------------------------------------------
Autor | Gymnázium Cheb