POLOHOVÉ VLASTNOSTI
Základní věty o incidenci bodů, přímek a rovin v prostoru.
Ve stereometrii platí tyto věty:
- Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině ró, pak i bod A leží v rovině ró
- Jestliže v rovině ró leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině ró
- Dvěma různými body prochází právě jedna přímka (p=AB).
- Třemi různými body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina
- Přímkou a bodem, který na přímce neleží, prochází právě jedna rovina
- Dvěma různoběžnými přímkami nebo dvěma různými rovnoběžkami prochází právě jedna rovina.
- Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich společnou hraniční rovinou
- Procházejí-li dvě různé roviny ró, sigma týmž bodem A, obsahují právě jednu přímku p, která prochází bodem A. Mimo tuto přímku p nemají už žádný společný bod.
Konvexní útvar - Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující
kterékoli dva body útvaru je částí tohoto útvaru.
=>konvexní útvary jsou např.: přímka, polopřímka, úsečka, kruh, polorovina, rovina
Vzájemná poloha dvou přímek
dvě přímky mohou být:
- rovnoběžky – leží v jedné rovině, nemají žádný společný bod
- různoběžky – leží v jedné rovině, mají právě jeden společný bod – průsečík
- splývající(totožné) – všechny body jsou společné
- mimoběžky – žádný společný bod, neleží ve stejné rovině
Ve stereometrii mezi základní tvrzení také tzv. Euklidův axiom, který zní:
- Ke každé přímce lze libovolně zvoleným bodem vést právě jednu rovnoběžku
Vzájemná poloha přímky a roviny
- Mají-li přímka s rovinou společný právě jeden bod, je přímka různoběžná s rovinou. Bod P se nazývá průsečík.
- Nemají-li žádný společný bod nebo mají-li společné aspoň dva různé body (přímka p leží v rovině ró), je přímka rovnoběžná s rovinou.
Vzájemná poloha dvou rovin
Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou přímku, která tímto bodem prochází, kromě této přímky nemají žádný společný bod
Dvě roviny ró a sigma, které mají společnou přímku p, jsou různoběžná. Přímka p je jejich průsečnice.
Pokud nemají roviny ró a sigma žádný společný bod, tak jsou rovnoběžné.
Pokud jsou dvě roviny ró a sigma rovnoběžné a bod A náleží ró a bod B náleží sigmě, pak průnik poloprostorů se nazývá vrstva, roviny róA a sigmaB jsou hraniční roviny, jejichž vzdálenost v se nazývá tloušťka vrstvy.
Pokud jsou dvě roviny ró a sigma různoběžné a jejich průsečnice je přímka h, bod A náleží ró a bod B náleží sigmě , pak průnik poloprostorů róA a sigmaB se nazývá klín. Přímka h je hrana klínu, poloroviny hA a hB jsou stěny klínu.
Vzájemná poloha tří bodů
- Pokud tři body leží na jedné přímce, tak jsou kolineární.
- Pokud tři body neleží na jedné přímce jsou nekolineární.
- Libovolné nekolineární body v prostoru tvoří trojúhelník, který je součástí roviny určené těmito třemi body.
Vzájemná poloha tří rovin
Pro 3 roviny platí vždy jedna z těchto možností:
- Každé dvě z daných rovin jsou rovnoběžné.
- Pokud jsou dvě z daných rovin jsou rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná, pak je protíná ve dvou průsečnicích. Tyto průsečnice jsou navzájem rovnoběžné.
- Pokud pro každé dvě z daných rovin jsou různoběžné (tj. žádné dvě nejsou rovnoběžné) a neexistuje žádný společný bod pro tyto tři roviny, pak existují tři průsečnice, které jsou navzájem rovnoběžné a různé.
- Každé dvě z daných rovin jsou různoběžné a všechny tři průsečnice splývají v jedinou přímku. (tyto průsečnice jsou rovnoběžné splývající)
- Každé dvě z daných dvou rovin jsou různoběžné, všechny tři průsečnice jsou různoběžné a procházejí jediným společným bodem všech těchto tří rovin.
