Stereometrie

seminární práce z matematiky...

POLOHOVÉ VLASTNOSTI

Základní věty o incidenci bodů, přímek a rovin v prostoru.

Ve stereometrii platí tyto věty:

  • Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině ró, pak i bod A leží v rovině ró
  • Jestliže v rovině ró leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině ró
  • Dvěma různými body prochází právě jedna přímka (p=AB).
  • Třemi různými body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina
  • Přímkou a bodem, který na přímce neleží, prochází právě jedna rovina
  • Dvěma různoběžnými přímkami nebo dvěma různými rovnoběžkami prochází právě jedna rovina.
  • Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich společnou hraniční rovinou
  • Procházejí-li dvě různé roviny ró, sigma týmž bodem A, obsahují právě jednu přímku p, která prochází bodem A. Mimo tuto přímku p nemají už žádný společný bod.

Konvexní útvar - Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli dva body útvaru je částí tohoto útvaru.
=>konvexní útvary jsou např.: přímka, polopřímka, úsečka, kruh, polorovina, rovina



Vzájemná poloha dvou přímek

dvě přímky mohou být:

  • rovnoběžky – leží v jedné rovině, nemají žádný společný bod
  • různoběžky – leží v jedné rovině, mají právě jeden společný bod – průsečík
  • splývající(totožné) – všechny body jsou společné
  • mimoběžky – žádný společný bod, neleží ve stejné rovině

Ve stereometrii mezi základní tvrzení také tzv. Euklidův axiom, který zní:

  • Ke každé přímce lze libovolně zvoleným bodem vést právě jednu rovnoběžku


Vzájemná poloha přímky a roviny

  • Mají-li přímka s rovinou společný právě jeden bod, je přímka různoběžná s rovinou. Bod P se nazývá průsečík.
  • Nemají-li žádný společný bod nebo mají-li společné aspoň dva různé body (přímka p leží v rovině ró), je přímka rovnoběžná s rovinou.

Vzájemná poloha dvou rovin

Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou přímku, která tímto bodem prochází, kromě této přímky nemají žádný společný bod

Dvě roviny a sigma, které mají společnou přímku p, jsou různoběžná. Přímka p je jejich průsečnice.

Pokud nemají roviny a sigma žádný společný bod, tak jsou rovnoběžné.

Pokud jsou dvě roviny a sigma rovnoběžné a bod A náleží a bod B náleží sigmě, pak průnik poloprostorů se nazývá vrstva, roviny róA a sigmaB jsou hraniční roviny, jejichž vzdálenost v se nazývá tloušťka vrstvy.

Pokud jsou dvě roviny a sigma různoběžné a jejich průsečnice je přímka h, bod A náleží a bod B náleží sigmě , pak průnik poloprostorů róA a sigmaB se nazývá klín. Přímka h je hrana klínu, poloroviny hA a hB jsou stěny klínu.

Vzájemná poloha tří bodů

  • Pokud tři body leží na jedné přímce, tak jsou kolineární.
  • Pokud tři body neleží na jedné přímce jsou nekolineární.
    • Libovolné nekolineární body v prostoru tvoří trojúhelník, který je součástí roviny určené těmito třemi body.

Vzájemná poloha tří rovin

Pro 3 roviny platí vždy jedna z těchto možností:

  • Každé dvě z daných rovin jsou rovnoběžné.
  • Pokud jsou dvě z daných rovin jsou rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná, pak je protíná ve dvou průsečnicích. Tyto průsečnice jsou navzájem rovnoběžné.
  • Pokud pro každé dvě z daných rovin jsou různoběžné (tj. žádné dvě nejsou rovnoběžné) a neexistuje žádný společný bod pro tyto tři roviny, pak existují tři průsečnice, které jsou navzájem rovnoběžné a různé.
  • Každé dvě z daných rovin jsou různoběžné a všechny tři průsečnice splývají v jedinou přímku. (tyto průsečnice jsou rovnoběžné splývající)
  • Každé dvě z daných dvou rovin jsou různoběžné, všechny tři průsečnice jsou různoběžné a procházejí jediným společným bodem všech těchto tří rovin.
© 2007 RADEK JOHANNES | Valid: XHTML | CSS