• 
• 
• 
• 

2. Polohové vlastnosti

V této kapitole budeme zkoumat polohovu jednotlivých útvarů vůči sobě.

2.1. Základní vztahy

Bod může (ne)ležet na přímce nebo (ne)náležet rovině. Přímka může (ne)procházet bodem nebo (ne)náležet rovině. Rovina buď prochází nebo neprochází bodem či přímkou. Pro všechny tyto polohy můžeme používat jedno slovo: incidentní. Například: bod je incidentní s přímkou znamená, že bod náleží přímce.

Přímku určujeme dvěma body, zápis vypadá například takto: p= <-> AB a nazýváme jí přímka AB. Podobně se zapisuje a určuje rovina. Rovina může být určena 3body např. α = <-> Ap. Poslední možnost určení roviny je dvěma přímkami např. α = <-> pq.

Výroky (citace z učebnice stereometrie):

"Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině alfa, pak i bod A leží v rovině alfa."

"Dvěma různými body v prostoru prochází právě jedna přímka."

"Jedna rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a zároveň je jejich hraniční rovinou."

2.2. Vzájemná poloha dvou přímek

Asi nejlépe rozpoznatelnou polohou dvou přímek je různoběžnost. V této poloze mají přímky právě jeden společný bod, kterému se říká průsečík, ale nemusí ležet v jedné rovině. Zápis vypadá následovně {P} = p průnik q nebo P náleží p průnik q. Na následujícím obrázku si můžete prohlédnout příklad různoběžnosti přímek.

Další polohou může být totožnost přímek, můžeme také říci, že přímky splývají. V takovémto případě leží přímky v jedné rovině a mají přímky všechny body společné. Na obrázku je vidět jeden z mnoha případů splývajících přímek.

Velmi podobným případem je rovnoběžnost přímek. Pokud dvě přímky leží ve stejné rovině a nemají žádný společný bod, pak můžeme říct, že jsou rovnoběžné. Příklad rovnoběžnosti přímek máme na dalším obrázku.

Posledním polohou, se kterou se v prostoru můžeme setkat je mimoběžnost dvou přímek. Přímky nesmí ležet v jedné rovině a zároveň nesmí mít žádný společný bod. Pokud jsou výše zmíněné podmínky splněny, pak jsou přímky mimoběžné.

2.3. Vzájemná poloha přímky a roviny

Nejprve bych prozkoumal případ, kdy přímka náleží rovině. Toto můžeme říci právě tehdy, když má přímka všechny body společné s rovinou. Zápis vydá takto: p c alfa. Další obrázek nám ukáže, jak to vypadá, když přímka náleží rovině.

Přímka může být také rovnoběžná s rovinou, v takovémto případě nemá přímka s rovinou žádný společný bod, tudíž leží v jiné rovině. Zapisujeme následovně: p || alfa.

Posledním polohou z této kapitoly je různoběžnost přímky s rovinou. To znamená, že má přímka s rovinou právě jeden společný bod, který se nazývá průsečík. Zapsat tento průsečík můžeme například takto: {P}= p průnik alfa nebo P náleží průnik alfa.

2.4. Vzájemná poloha dvou rovin

Pokud mají dvě roviny α a β jednu společnou přímku p, pak jsou různoběžné a přímka p je jejich průsečnicí a zápis provedeme takto: p = α průnik β. Tuto polohu popisuje následující obrázek.

Další polohou je rovnoběžnost dvou rovin. Dvě roviny jsou rovnoběžné právě tehdy, když nemají žádný společný bod. Zápis: α || β.

Roviny, stejně jako přímky, mohou být totožné neboli splývající. Tento případ nastává, nemají-li roviny ani jeden společný bod.

2.5. Rovnoběžnost přímek a rovin

"Přímka p je rovnoběžná s rovinou alfa právě tehdy, když v rovině alfa leží alespoň jedna přímka p´, která je s přímkou p rovnoběžná." Toto je kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny a používáme ho, když chceme zjistit, zda jsou přímka a rovina rovnoběžné.

Z předešlého odstavce je zřejmé, že pro libovolné přímky p,q a libovolnou rovinu α platí: " Je-li p || q, q || α, pak musí platit p || α."

"Dvě roviny α a β jsou rovnoběžné, jestliže v jedné z nich, např. α, leží dvě různoběžné přímky p,q, keré jsou rovnoběžné s rovinou β." Toto je kritérium rovnoběžnosti dvou rovin. Jak si můžete všimnout, ja založené na platnosti kritéria rovnoběžnosti přímky a roviny.

2.6. Vzájemná poloha tří rovin

Vzájemnou polohu tří rovin můžeme nejlépe pozorovat na trojrozměrných tělesech, jako je například krychle, kvádr, hranol nebo jehlan. Pro tři roviny máme pět možností vzájemných poloh.

1. Každé dvě roviny jsou rovnoběžné

2. Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protína v rovnoběžných přímkách.

3. Každé dvě roviny jsou různoběžné:

a) všechny tři průsečnice splynou v jednu

b) průsečnice každých dvou rovin jsou rovnoběžné, ale nejsou totožné

c) všechny tři průsečnice jsou různoběžné a mají jediný společný bod, který zároveň společný všem třem rovinám

Pro tři různé roviny α, β, γ nastane vždy jedna z výše zmíněných možností. Jiná situace nemůže nastat.