streometrierotace.gif, 50 kB

3. Metrické vlastnosti

Vztahy, které se týkájí metrických vlastností, nám blíže uřčují popis vztahů v rovině. Metrické vlastnosti se dají vyzkoumat pomocí shodnosti useček a úhlů. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny definujeme pomocí pojmu z planimetrie, délka úsečky. Odchylku přímek a rovin zase pomocí pojmu odchylka dvou přímek v rovině.

3.1. Odchylka přímek

Jedno pravidlo pro určení odchylky dvou přímek jsme již viděli v planimetrii: "Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých nebo pravých újlů, které přímky spolu svírají. Odchlyka dvou rovnoběžných přímek je 0°." Ale v prostoru nám toto pravidlo nestačí, protože se zde můžeme setkat ještě s případem mimoběžných přímek, u kterých také umíme určit odchylku. Používá se následující pravidlo: "Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami." Pokud jste se do této věty poněkud zamotali, pomůže vám následující obrázek.

obrazek 6.JPG, 42 kB

Pro výpočty odchylek dvou přímek používáme pythagorovu větu, věty o shodnosti trojúhelníků, ty nám pomáhají zjistit délky všech potřebných useček.

Délky úseček proto, že se tyto přímky většinou zobrazují v krychli, jehlanu, atd. Pro zjištění úhlů v nalezených trojúhelnících se používají vztahy goniometrických funkcí a cosinova a sinova věta.

3.2. Kolmost přímek a rovin

Nejdříve se podíváme na kolmé přímky. Zda jednoduché pravidlo: "Přímky jsou kolmé právě tehdy, když jejich odchylka je 90°." Ve stereometrii nemusí mít dvě kolmé přímky společný bod, protože mohou ležet v různých rovinách. Pomocí kolmých přímek definujeme i kolmost přímky a roviny: "Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke všem přímkám roviny." Zápis vypadá následovně: p kolmá α a bod P náleží p průnik α je pata kolmice. Podle této definice bychom museli nejdříve vyzkoušet, zda-li je přímka kolmá na všechny přímky v dané rovině, to však není technicky možné, proto používáme kritérium kolmosti přímky a roviny: "Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám dané roviny, pak kolmá k dané rovině."

Výroky:

"Daným bodem lze vést k dané rovině právě jednu kolmici."

Daným bodem lze vést k dané přímce právě jednu kolmou rovinu."

"Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna rovina obsahuje přímku kolmou k druhé rovině." Nejdeme-li v dané rovině jednu přímku kolmou k druhé rovině, pak i všechny ostatní přímky jsou kolmé k druhé rovině a zároveň všechny přímky z druhé roviny jsou kolmé k první rovině.

3.3. Odchylky přímek a rovin

"Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma daným rovinám kolmá." Z toho plyne, že pokud chceme zjisti odchylku dvou rovin, musím nejprve najít rovinu, která je k oběma daným rovinám kolmá. Pak nalezneme průsečnice daných rovin s nalezenou rovinou a změříme nebo vypočteme odchylku těchto přímek, která je zároveň odchylkou daných rovin. Pokud hledáme odchylku přímky a roviny, pak je to nejmenší z odchylek této přímky a přímek náležících dané rovině. Platí následující pravidlo: " Není-li přímka kolmá k rovině, je odhylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejícho pravoúhlého průmětu do této roviny. Odchylka přímky a roviny, k níž je kolmá, je 90°."

obrazek 8.JPG, 52 kB

3.4. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny

Vzdálenost bodu od přímky je nejmenší vzdálenost bodu A od jednotlivých bodů X přímky p. V praxi to znamená, že vytvoříme rovinu, která je určená bodem A a přímkou p a v této rovině uděláme kolmici k přímce p vedenou bodem A. Průnik kolmice a přímky označíme P jako pata kolmice a vzdálenost, kterou hledáme je rovna velikosti úsečky AP.

obrazek 9.JPG, 36 kB

Vzdálenost bodu A od roviny α je velikost úsečky AA', kde A' je pravoúhlý průmět bodu A do roviny α. Konstrukce vypadá takto, vytvoříme kolmici k rovině α a průnik kolmice a roviny je bod A'. Poté už jenom změříme velikost úsečky AA'.

obrazek10.JPG, 40 kB

3.5. Vzdálenost přímek a rovin

Hledání těchto vzdáleností můžeme rozdělit do několika případů. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je vzdálenost dvou libolných bodů přímek p a q. Tuto vzdálenost můžeme určit dvěma způsoby, pomocí roviny, které přímky p a q náleží (obrázek 2) nebo která ke které jsou obě přímky kolmé (obrázek 1).

obrazek 12.JPG, 41 kB obrazek 11.jpg, 39 kB

Podobným případem je vzdálenost dvou rovnoběžných rovin. Je to vzdálenost libovolného bodu z roviny α od roviny β. Konstrukce je stejná jako při zjišťování vzdálenosti bodu od roviny.

Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky p od roviny α;. Postup je stále stejný jako u vzdálenosti bodu od roviny.

Posledním případem je vzdálenost dvou mimoběžných přímek p a q. Tato vzdálenost je délka úsečky PQ, kde bod P je průsečík přímky p s příčkou mimoběžek, která je k oběma kolmá a bod Q je průsečík přímky q s toutéž příčkou. Konstrukce je již o něco složitější. Nejprve nalezneme rovinu α, které náleží přímka q, pak do této roviny pravoúhle promítneme přímku p a nazveme ji p'. Bodem, kde přímka p' a přímka q protnou vedeme kolmice k rovině α. A pak už pouze nalezneme rovnoběžku s kolmicí k rovině α takovou, aby měla společný bod s přímkami p a q. Bod, kde se rovnoběžka protne s přímkou p, nazveme P. Bod, kde se rovnoběžka protne s přímkou q, nazveme Q. Hledaná vzdálenost je velikost úsečky PQ. Nutno ještě zdůraznit, že vzdálenost dvou mimoběžných přímek je vždy nejmenší ze vzdáleností dvou bodů jedné a druhé mimoběžky.

obrazek 13.JPG, 48 kB
Valid XHTML 1.0 Strict Valid CSS!
fotka.gif, 4 kB