• 
• 
• 
• 

3. Metrické vlastnosti

Vztahy, které se týkájí metrických vlastností, nám blíže uřčují popis vztahů v rovině. Metrické vlastnosti se dají vyzkoumat pomocí shodnosti useček a úhlů. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny definujeme pomocí pojmu z planimetrie, délka úsečky. Odchylku přímek a rovin zase pomocí pojmu odchylka dvou přímek v rovině.

3.1. Odchylka přímek

Jedno pravidlo pro určení odchylky dvou přímek jsme již viděli v planimetrii: "Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých nebo pravých újlů, které přímky spolu svírají. Odchlyka dvou rovnoběžných přímek je 0°." Ale v prostoru nám toto pravidlo nestačí, protože se zde můžeme setkat ještě s případem mimoběžných přímek, u kterých také umíme určit odchylku. Používá se následující pravidlo: "Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami." Pokud jste se do této věty poněkud zamotali, pomůže vám následující obrázek.

Pro výpočty odchylek dvou přímek používáme pythagorovu větu, věty o shodnosti trojúhelníků, ty nám pomáhají zjistit délky všech potřebných useček.

Délky úseček proto, že se tyto přímky většinou zobrazují v krychli, jehlanu, atd. Pro zjištění úhlů v nalezených trojúhelnících se používají vztahy goniometrických funkcí a cosinova a sinova věta.

3.2. Kolmost přímek a rovin

Nejdříve se podíváme na kolmé přímky. Zda jednoduché pravidlo: "Přímky jsou kolmé právě tehdy, když jejich odchylka je 90°." Ve stereometrii nemusí mít dvě kolmé přímky společný bod, protože mohou ležet v různých rovinách. Pomocí kolmých přímek definujeme i kolmost přímky a roviny: "Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke všem přímkám roviny." Zápis vypadá následovně: p kolmá α a bod P náleží p průnik α je pata kolmice. Podle této definice bychom museli nejdříve vyzkoušet, zda-li je přímka kolmá na všechny přímky v dané rovině, to však není technicky možné, proto používáme kritérium kolmosti přímky a roviny: "Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám dané roviny, pak kolmá k dané rovině."

Výroky:

"Daným bodem lze vést k dané rovině právě jednu kolmici."

Daným bodem lze vést k dané přímce právě jednu kolmou rovinu."

"Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna rovina obsahuje přímku kolmou k druhé rovině." Nejdeme-li v dané rovině jednu přímku kolmou k druhé rovině, pak i všechny ostatní přímky jsou kolmé k druhé rovině a zároveň všechny přímky z druhé roviny jsou kolmé k první rovině.

3.3. Odchylky přímek a rovin

"Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma daným rovinám kolmá." Z toho plyne, že pokud chceme zjisti odchylku dvou rovin, musím nejprve najít rovinu, která je k oběma daným rovinám kolmá. Pak nalezneme průsečnice daných rovin s nalezenou rovinou a změříme nebo vypočteme odchylku těchto přímek, která je zároveň odchylkou daných rovin. Pokud hledáme odchylku přímky a roviny, pak je to nejmenší z odchylek této přímky a přímek náležících dané rovině. Platí následující pravidlo: " Není-li přímka kolmá k rovině, je odhylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejícho pravoúhlého průmětu do této roviny. Odchylka přímky a roviny, k níž je kolmá, je 90°."

3.4. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny

Vzdálenost bodu od přímky je nejmenší vzdálenost bodu A od jednotlivých bodů X přímky p. V praxi to znamená, že vytvoříme rovinu, která je určená bodem A a přímkou p a v této rovině uděláme kolmici k přímce p vedenou bodem A. Průnik kolmice a přímky označíme P jako pata kolmice a vzdálenost, kterou hledáme je rovna velikosti úsečky AP.

Vzdálenost bodu A od roviny α je velikost úsečky AA', kde A' je pravoúhlý průmět bodu A do roviny α. Konstrukce vypadá takto, vytvoříme kolmici k rovině α a průnik kolmice a roviny je bod A'. Poté už jenom změříme velikost úsečky AA'.

3.5. Vzdálenost přímek a rovin

Hledání těchto vzdáleností můžeme rozdělit do několika případů. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je vzdálenost dvou libolných bodů přímek p a q. Tuto vzdálenost můžeme určit dvěma způsoby, pomocí roviny, které přímky p a q náleží (obrázek 2) nebo která ke které jsou obě přímky kolmé (obrázek 1).

Podobným případem je vzdálenost dvou rovnoběžných rovin. Je to vzdálenost libovolného bodu z roviny α od roviny β. Konstrukce je stejná jako při zjišťování vzdálenosti bodu od roviny.

Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky p od roviny α;. Postup je stále stejný jako u vzdálenosti bodu od roviny.

Posledním případem je vzdálenost dvou mimoběžných přímek p a q. Tato vzdálenost je délka úsečky PQ, kde bod P je průsečík přímky p s příčkou mimoběžek, která je k oběma kolmá a bod Q je průsečík přímky q s toutéž příčkou. Konstrukce je již o něco složitější. Nejprve nalezneme rovinu α, které náleží přímka q, pak do této roviny pravoúhle promítneme přímku p a nazveme ji p'. Bodem, kde přímka p' a přímka q protnou vedeme kolmice k rovině α. A pak už pouze nalezneme rovnoběžku s kolmicí k rovině α takovou, aby měla společný bod s přímkami p a q. Bod, kde se rovnoběžka protne s přímkou p, nazveme P. Bod, kde se rovnoběžka protne s přímkou q, nazveme Q. Hledaná vzdálenost je velikost úsečky PQ. Nutno ještě zdůraznit, že vzdálenost dvou mimoběžných přímek je vždy nejmenší ze vzdáleností dvou bodů jedné a druhé mimoběžky.